Estudio e implementación del método multiescala generalizado (GMsFEM)

Resumen

El presente artículo tiene como objetivo estudiar y aplicar tres métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales parciales elípticas: el método de elementos finitos (FEM), el método multiescala de elementos finitos (MsFEM) y el método multiescala generalizado de elementos finitos (GMsFEM), con énfasis en este último. Para ello, se desarrolla una revisión teórica de sus fundamentos variacionales y matriciales, y posteriormente se implementan ejemplos computacionales asociados a problemas de difusión homogénea, heterogénea y de alto contraste. Las simulaciones fueron realizadas mediante FreeFem++ y MATLAB, lo que permitió comparar el comportamiento de los métodos en distintos escenarios. Los resultados muestran que el método multiescala clásico presenta limitaciones cuando el problema involucra medios con fuertes heterogeneidades o escalas no separables, mientras que el método multiescala generalizado logra una mejor representación del comportamiento local mediante la construcción de funciones base obtenidas a partir de problemas espectrales locales. Se concluye que este último método constituye una alternativa más adecuada para la aproximación numérica de problemas multiescala complejos, especialmente en contextos de alto contraste, donde se requiere reducir grados de libertad sin perder de manera significativa la calidad de la aproximación.